Số Hữu Tỉ In English

Mấy tháng trước, chúng ta đã đọc một loạt bài về modulo. Đó là modulo cho số nguyên. Xin nhắc lại định nghĩa như sau.

Bạn đang xem: Số hữu tỉ in english

Định nghĩa. Cho $n$, $a$, $b$ là các số nguyên. Chúng ta nói rằng $a$ và $b$ bằng nhau modulo $n$, và viết $$a = b \pmod{n}$$ khi và chỉ khi $a-b$ là một bội số của $n$.Ví dụ như $$8 = 0 \pmod{4},$$ $$9 = 1 \pmod{4},$$ $$-5 = -1 = 3 = 7 \pmod{4}, \dots $$Hôm nay, xin giới thiệu với các bạn một khái niệm mới về modulo cho số hữu tỷ. Trước khi đi vào chi tiết của định nghĩa, chúng ta sẽ liệt kê một vài ví dụ cho các bạn thấy ngay được modulo số hữu tỷ là như thế nào.Ví dụ về modulo cho số hữu tỷ: $$\frac{8}{5} =_{Q} ~0 \pmod{4}, $$ $$ -\frac{12}{55} =_{Q} ~0 \pmod{4},$$ $$\frac{29}{15} =_{Q} ~\frac{25}{15} = \frac{5}{3} \pmod{4}$$Để phân biệt về modulo cho số nguyên, chúng ta sẽ dùng ký hiệu $$\alpha =_{Q} ~\beta \pmod{n}$$ để chỉ modulo cho số hữu tỷ. Lý do mà chúng ta dùng ký hiệu $=_{Q}$ này là vì tập hợp các số hữu tỷ thường được ký hiệu bởi chữ $Q$.Xin lưu ý một điều quan trọng là ở ký hiệu $$\alpha =_{Q} ~\beta \pmod{n}$$ thì $\alpha$ và $\beta$ là số hữu tỷ, còn số $n$ là số nguyên.Chúng ta sẽ dùng ký hiệu $(x,y)$ để chỉ ước số chung lớn nhất của hai số nguyên $x$ và $y$. Do đó nếu hai số nguyên $x$ và $y$ nguyên tố cùng nhau thì chúng ta có $(x,y)=1$. Bây giờ chúng ta sẵn sàng đi vào định nghĩa của modulo số hữu tỷ.Định nghĩa.

Xem thêm: Download Ninja School World 1, 2, 3 Mod Cho Android, Ninja School Apk Mod Unlock All

Giả sử như $\alpha = \frac{x}{y}$ là một số hữu tỷ viết theo dạng tối giản, tức là $(x,y)=1$, chúng ta nói rằng $$\alpha =_{Q} ~0 \pmod{n}$$ khi và chỉ khi $x = 0 \pmod{n}$ và $(y,n)=1$.Theo định nghĩa này thì một số hữu tỷ $\alpha = \frac{x}{y}$ sẽ bằng $0$ modulo $n$ nếu tử số $x$ chia hết cho $n$, còn mẫu số $y$ thì nguyên tố cùng nhau với $n$. Như vậy thì $$\frac{9}{4} =_Q ~0 \pmod{9},$$ $$\frac{18}{5} =_Q ~0 \pmod{9},$$ $$-\frac{36}{25} =_Q ~0 \pmod{9},$$ $$18 = \frac{18}{1} =_Q ~0 \pmod{9},$$Xin các bạn cẩn thận nhé, để xem một số hữu tỷ $\alpha = \frac{x}{y}$ bằng $0$ modulo $n$ hay không chúng ta phải viết nó về dạng tối giản. Cho nên mặc dù $18$ chia hết cho $9$, nhưng số hữu tỷ $$\frac{18}{15} \neq_{Q} ~0 \pmod{9}$$ bởi vì khi viết về dạng tối giản thì $$\frac{18}{15} = \frac{6}{5}$$ và $$\frac{6}{5} \neq_{Q} ~0 \pmod{9}.$$
Định nghĩa.
Giả sử $\alpha = \frac{x}{y}$ là một số hữu tỷ và $n$ là một số nguyên. Chúng ta nói rằng $$\alpha =_{Q} ~0 \pmod{n}$$ khi và chỉ khi tồn tại một số nguyên $k$ nguyên tố cùng nhau với $n$ sao cho $k \alpha$ là một số nguyên và $$k \alpha = 0 \pmod{n} .$$
Chúng ta đã biết một số hữu tỷ $\alpha$ bằng $0$ modulo $n$ có nghĩa là gì rồi. Bây giờ chúng ta phát biểu định nghĩa modulo cho hai số hữu tỷ $\alpha$ và $\beta$.
Định nghĩa.Giả sử $\alpha$, $\beta$ là hai số hữu tỷ và $n$ là một số nguyên. Chúng ta nói rằng $$\alpha =_{Q} ~\beta \pmod{n}$$ khi và chỉ khi $$\alpha - \beta =_{Q} 0 \pmod{n}.$$
Chúng ta có $$\frac{29}{15} - \frac{1}{3} = \frac{8}{5}$$ do đó $$\frac{29}{15} =_{Q} ~\frac{1}{3} \pmod{4}$$Chúng ta có $$\frac{25}{18} - 1 = \frac{7}{18}$$ do đó $$\frac{25}{18} =_{Q} ~1 \pmod{7}$$
Nhớ lại lúc chúng ta học về modulo cho số nguyên, chúng ta có "Công thức cộng", "Công thức nhân", "Công thức luỹ thừa". Modulo số hữu tỷ cũng có các công thức tương tự như vậy. Nhưng đó sẽ là chủ đề cho kỳ sau. Còn kỳ này, chúng ta tạm dừng ở đây.
1. Giả sử $\alpha$, $\beta$ là hai số hữu tỷ và $n$ là một số nguyên. Chứng minh rằng $$\alpha =_{Q} ~\beta \pmod{n}$$ khi và chỉ khi tồn tại một số nguyên $k$ nguyên tố cùng nhau với $n$ sao cho $k(\alpha - \beta)$ là một số nguyên và $$k(\alpha - \beta) = 0 \pmod{n}.$$
2. Kiểm chứng rằng $$1 =_{Q} ~1 \pmod{7},$$ $$\frac{1}{2} =_{Q} ~4 \pmod{7},$$ $$\frac{1}{3} =_{Q} ~5 \pmod{7},$$ $$\frac{1}{4} =_{Q} ~2 \pmod{7},$$ $$\frac{1}{5} =_{Q} ~3 \pmod{7},$$ $$\frac{1}{6} =_{Q} ~6 \pmod{7},$$ từ đó suy ra $$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} =_{Q} ~1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 =_{Q} ~0 \pmod{7},$$
Kiểm chứng lại $$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} = \frac{147}{60}$$ có tử số là $147$ chia hết cho $7$.
Labels:algebra,đa thức,đại số,interpolation,modulo,nội suy,number theory,polynomial,số học,số hữu tỷ,Wilson theorem
Bài đăng Mới hơnBài đăng Cũ hơnTrang chủ

Ủng hộ Vườn Toán trên facebook


*


Lưu trữ Blog


►  2017(1) ►  2016(7) ►  2015(12) ►  2014(12) ►  2013(26) ▼  2012(36) ▼  tháng mười một(7) ►  2011(7)

*


Bài toán kết nối facebook

Phép nhân thời đồ đá

Mắt Biếc Hồ Thu

Lục giác kỳ diệu

Định lý Pitago

1 = 2012 = 2013

Dãy số Fibonacci và một bài toán xếp hình

James vẽ hình

Câu hỏi của James

Hình vuông số chính phương kỳ diệu của Vianney!

Câu đố mẹo về đo lường

Công thức lượng giác Gauss cho 17-giác đều

Chào năm mới 2014

Chào năm mới 2015

Chào năm mới 2016

Không gian 4 chiều là gì?

Dựng hình đa giác đều

Dựng đa giác đều 15 cạnh

Ngày số Pi (2015)

Ngày số Pi (2016)

0.9999999... có bằng 1 không? (2015)

Hình tam giác

Bàn cờ vua và kim tự tháp


Dãy số - Phần 1

Dãy số - Phần 2Dãy số - Phần 3Dãy số - Phần 4Dãy số - Phần 5Dãy số - Phần 6Dãy số - Phần 7Dãy số - Phần 8Dãy số - Phần 9


Tam giác Pascal

Quy nạpQuy nạp IIQuy nạp IIINhị thức Newton1 = 2012 = 2013Đa thức nội suy NewtonĐa thức nội suy LagrangeChứng minh Định lý Wilson bằng công thức nội suyTổng luỹ thừa


Số phức


Số phức

Công thức Moivre


Lượng giác


Công thức lượng giác cho góc bội

Công thức lượng giác Gauss cho 17-giác đều

Ngày số Pi (2016)

Radian là gì?


modulo - Phần 1

modulo - Phần 2

modulo - Phần 3

modulo - Phần 4

modulo - Phần 5

modulo - Phần 6

Số nguyên tố

Định lý Euclid về số nguyên tố

Một vài bài toán về số nguyên tố

Định lý Wilson

Bộ số Pitago

Modulo cho số hữu tỷ

Modulo cho số hữu tỷ II

Chứng minh lại định lý Wilson

Bổ đề Bezout

Thuật toán Euclid

Tổng luỹ thừa

Tổng luỹ thừa và định lý Wolstenholme

Câu đố mẹo về đo lường

Dựng đa giác đều 15 cạnh

Bò đi con bọ cạp!

Liên phân số Fibonacci

Hằng đẳng thức Pitago

Hình vuông số kỳ diệu của Euler


Bài toán kết nối facebook

Dãy số Fibonacci và một bài toán xếp hìnhHằng đẳng thức về dãy số FibonacciDãy số Fibonacci và tam giác Pascal


Định lý Pitago

Định lý đường cao tam giác vuôngĐịnh lý MorleyPhương tíchTrục đẳng phương và tâm đẳng phươngĐịnh lý Ceva và Định lý MenelausLục giác kỳ diệuĐịnh lý PascalĐịnh lý PappusCánh bướm PascalBài toán con bướmĐịnh lý Ngôi Sao Do TháiHãy xem xét trường hợp đặc biệtBài toán về tìm khoảng cách ngắn nhất và một tính chất của hình elípĐiểm Fermat của hình tam giácĐiểm Fermat của hình tam giác II


Dựng hình bằng thước và compa

Bài toán chia hình tứ giácDựng hình ngũ giác đềuDựng hình đa giác đềuDựng đa giác đều 15 cạnhĐịnh lý đường cao tam giác vuôngThuật toán dựng hìnhCông thức lượng giác Gauss cho 17-giác đều Dựng hình chỉ bằng compa Dùng compa chia đều đoạn thẳng