Bài tập biến đổi z có lời giải

Cmùi hương này ra mắt biến đổi z nhưng mà cực kỳ bổ ích trong phân tích và xây cất hệ thống DSP.. (hoặc DTSP), y như thay đổi Laplace cho khối hệ thống tựa như (hoặc liên tiếp thời gian). Phân tích Fourier được trở nên tân tiến đến miền liên tiếp thời gian dẫu vậy cũng có lợi mang lại tín hiệu cùng khối hệ thống tách rạc thời gian. Ta đã thấy chuyển đổi z với đổi khác Fourier tương tác với nhau. Ta lựa chọn nhằm trình diễn chuyển đổi z sau so sánh Fourieer như những người sáng tác không giống sẽ có tác dụng, tuy nhiên theo trơ tráo từ...




Bạn đang xem: Bài tập biến đổi z có lời giải

*

1Chương thơm 4 BIẾN ĐỔI ZChương này ra mắt biến hóa z mà lại rất hữu dụng trong phân tích với thiết kế hệ thống DSP (hoặcDTSP), giống như biến đổi Laplace cho hệ thống tựa như (hoặc tiếp tục thời gian). Phân tích Fourierđược cách tân và phát triển cho miền tiếp tục thời gian mà lại cũng hữu ích đến biểu hiện và khối hệ thống tránh rộc thờigian. Ta đã thấy biến đổi z và đổi khác Fourier tương tác cùng nhau. Ta chọn nhằm trình bày biến hóa z sauso với Fourieer nhỏng các người sáng tác khác đã có tác dụng, tuy nhiên theo trật tự ngược trở lại cũng thường thấy. Chủ đề bao gồm là: quan niệm chuyển đổi z, có lợi đôi biến hóa, ở trong tính thay đổi, vẽ rất vàko, vùng hội tụ, sự bình ổn của khối hệ thống, biến hóa ngược, đổi khác z một bên, lọc bậc nhị, đáp ứngchuyển tiếp cùng hệ thống với điều kiện đầu4.1 BIẾN ĐỔI ZPhần khởi đầu bao gồm các kỹ lưỡng không giống nhau của thay đổi z. Giống như những biến đổi khác,đổi khác z vận dụng cho tất cả tín hiệu và khối hệ thống tránh rạc. Ta hiểu được một khối hệ thống được đặc trưng bởipmùi hương trình biểu lộ vào ra, hoặc đáp ứng nhu cầu xung của chính nó, hoặc đáp ứng tần số. Tóm lại ta đã thấy đặctính trang bị bốn của khối hệ thống.4.1.1 Định nghĩa: Biến đổi z X(z) của một biểu đạt tránh rốc thời hạn x(n) được quan niệm nlỗi ∞  x (n )z -n X(z) = (4.1) n= 0z là một trong biến đổi phức của miền chuyển đổi cùng rất có thể coi nlỗi tần số phức (coi hình 4.5). Nhớ rằng chỉ sốn hoàn toàn có thể là thời hạn, không gian hoặc một số sản phẩm công nghệ khác, nhưng hay là thời gian. Nhỏng định nghĩatrên, X(z) là chuỗi nón ngulặng của z 1 tương xứng cùng với phần đa thông số x(n). Khai triển X(z) để thấy điềunày:   x ( n) z n = x(0) + x(1)z-1 + x(2)z-2 + . . . X(z) = (4.2) n 0 Trong cách làm (4.1) tổng được rước tự n = 0 cho  , X(z) không contact cùng với thời hạn vượt khứx(n). Đây là chuyển đổi z một b ên. Biến đổi z một bên rất có thể rất có thể cùng với ĐK đầu của x(n) (phần4.7). Nhìn chung, biểu lộ sống thọ trên gần như thời gian, cùng đổi khác z hai bên được khái niệm như: ∞ ∞ x  n  z -n X(z) = n= - 1 2 2 = …x(-2)z + x(-1)z + x(0) + x(1)z + x(2)z + … (4.3) 1Vì X(z) là 1 chuỗi nón vô hạn của z , biến hóa chỉ mãi sau phần nhiều cực hiếm địa điểm chuỗi hội tụ (tiến tớikhông Khi n   hoặc -  ). Vì vậy chuyển đổi z liên hệ trực tiếp cùng với vùng hội tụ (ROC) nơi nó là hữuhạn (phần 4.4). Để tách biệt, ta chú thích X  ( z ) mang đến thay đổi z một mặt.lấy ví dụ như 4.1.1Tìm màn biểu diễn tân oán học của biểu thị trong hình 4.1, sau đó search biến đổi z.Giải (a) Chụ ý biểu thị là nhân quả cùng sút hồ hết , nó có giá trị 0.8 n với n  0. Vì vậy ta viết x(n) = 0.8n u(n)cùng áp dụng chuyển đổi (4.1) 2   x ( n) z n X(z) = n 0 = 1 + 0.8z–1 + 0.64z–2 + 0.512z–3 +… = 1 + (0.8z–1) + (0.8z–1)2 + (0.8z–1)3 + …Ap dụng phương pháp chuỗi hình học tập vô hạn (2.8)  1 x , x 3Một cách để tìm đổi khác ngược, ngẫu nhiên bao giờ có thể, là áp dụng tư tưởng biến đổi z. Phương phápbao quát của biến đổi z ngược sẽ được luận bàn vào phần 4.5 và 4.6lấy ví dụ như 4.1.2Tìm thay đổi z ngược của những biểu thức sau z (a) X(z) = z  0.8 1 (b) X(z) = z  1.2Giải (a) Lấy khai triển X(z) sử dụng chuỗi hình hoc vô hạn: z 1 X(z) = = z - 0.8 1-0.8 z -1 = 1 + (0.8z–1) + (0.8z–1)2 + (0.8z–1)3 + … = 1 + 0.8z–1 + 0.64z–2 + 0.512z–3 + …Bằng biện pháp so sánh từ nhân tố với từng thành bên trong cách làm (4.2) ta có x(n) = <1 , 0.8 , 0.64 , 0.512 ; …>Hoặc x(n) = 0.8 n u(n) (b) Biểu diễn được mang đến không hệt như được biến đổi, vì chưng vậy ta viết. z 1 1 1 = z 1 X(z) = = 1  1.2 z 1 1 z  1.2 1  1.2 zKế cho, rước knhì triển X(z) : X(z) = z–1 <1 + (-1.2z–1) + (-1.2z–1)2 + (-1.2z–1)3 + …> = 0 + 1.0z–1 – 1.2z–2 + 1.44z–3 – 1.728z–4 + …Vì vậy x(n) = <0 ,1.0 , -1.2 , 1.44 , -1.728 , …>Mà có thể mô tả trong bề ngoài đóng như sau n 1  x(n) = (–1.2) u(n-1)4.1.3 Đôi đổi khác zBảng 4.1 chỉ dẫn nhiều song đổi khác z có lợi, chỗ vòng tròng rã đơn vị là vòng tròn có nửa đường kính 1trung tâm tạicội. Tất cả bộc lộ là nhân quả (bên phải), ngoại trừ hai dấu hiệu phi nhân quả (bên trái). Crúc ý rằng 1một đổi khác có thể biểu đạt tương đương nlỗi một hàm z hoặc z , ví dụBảng 4.1 : Đôi biến hóa z thông thường Giảng đồ rất -khôngTín hiệu x(n) Biến thay đổi X(z) ROC j Unit circle 0 -1 1 -j 4Mẫu đơn vị (n) Tất cả z 1Bậc đơn vị 1 z (  z > 1 ) 1 z 1 1 zu(n)  z z -1 doubleDốc đơn vị chức năng   (z  1 )2   z > 1  ( 1  z -1 )2r(n) = nu(n)  Mũ thực  z 1  -1   z > aan u(n) 1  az  z  a 0 5 1 z anu(n)  X(z) = or (4.7b) 1  az 1 za 1  z 1 cos Ω 0 z(z  cos Ω 0 ) (cosn0)u(n) X(z) = or (4.7c) 1  2 z 1 cos Ω 0  z 2 z  2 z cos Ω 0  1 2Hình thức có rất nhiều sự phụ thuộc vào mẫu ta mong mỏi làm cùng với chuyển đổi (xem phần 4.1.6 , 4.3 với 4.6).4.1.4 Biến thay đổi z mang đến hệ thốngBiến thay đổi z áp dụng mang lại biểu đạt cũng giống như hệ thống bởi vì hệ thống được trình diễn bởi đáp ứng xung củanó. Mà nó là hàm có chỉ số n giống như biểu thị. Vì trực thuộc tính này nhưng mà đổi khác z hữu ích vào phântích cùng xây dựng khối hệ thống bởi biểu thị và hệ thống ảnh hưởng nhau. Đặc biệt, đổi khác z của thỏa mãn nhu cầu xung h(n) là   h( n) z n (Biến thay đổi 1 bên) H(z) = (4.8) n 0Hoặc   h ( n) z n (Biến đổi nhị bên) H(z) = (4.9) n  Prúc nằm trong khối hệ thống là nhân quả hoặc phi nhân trái. H(z) được Call là hàm truyền hoặc hàm hệ thốnglấy ví dụ 4.1.3Một khối hệ thống bao gồm đáp ứng nhu cầu xung h(n) = <1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6>Tìm hàm truyền.GiảiHệ thống là 1 FIR phi nhân quả. Hàm truyền của nó được mang lại vị phương pháp (4.9):  3  h ( n) z  h ( n) z n n H(z) = = n  2 n   = z 2  2 z 1  3  4 z 1  5z 2  6 z 3trái lại, trường hợp biết H(z) như bên trên ta có thể thuận lợi tất cả h(n) . 4.1.5 Hàm riêng và trị riêngTa biết ví như đáp ứng nhu cầu tần số của một khối hệ thống là H(  ) thì cùng với ngõ vào x(n) = e jn , ngõ ra là y(n) =e jn H(  ) nlỗi vào (3.69b). Vì vấn đề đó , e jn là hàm riêng, và H(  ) là trị riêng của hệ thống. Bây tiếng, cùng với nguồn vào x(n) = zn (4.10)ngõ ra hệ thống là      h(k)z  h(k)z nk k y(n) = h(n)  x(n) = = zn     k 0 k 0Trong ngoặc là H(z) , thì y(n) = z n H(z) (4.11) nVì vậy vào miền đổi khác z, z là hàm riêng biệt, cùng H(z) là trị riêng biệt của hệ thống4.1.6 Hàm truyền giữa những yếu tắc của thông số lọcĐầu tiên, cùng với pmùi hương trình lọc tổng thể (công thức (2.21)) 6 N M  a y (n  k ) +  b x(n  k ) y(n) = (4.12) k k k  M k 1Với a k cùng bk là gần như thông số lọc (hằng số). Bây tiếng ta cố x(n) = z n và y(n) = z n H(z) để sở hữu M N b z a nk nk n z H (z) + z H(z) = k k k  N k 1Từ bí quyết này ta rút ra màn trình diễn của H(z) đến thanh lọc đệ qui, tác dụng là M bz k k k  M (thanh lọc đệ qui) H(z) = (4.13a) N 1   ak z k k 1Với lọc ko đệ qui, mẫu mã bởi 1, vì chưng vậy M bz k H ( z)  (thanh lọc không đệ qui) (4.13b) k k  MNó thì đa số chăm chú rằng hàm truyền bên trên bao gồm công dụng từ cách làm lọc (4.12) . Một số tác gải viếtcách làm sống dạng không giống (ví dụ, tất cả yếu tố y làm việc phía trái của công thức), vấn đề này dẫn tới sự biểudiễn khác của H(z) . Ý tưởng làm việc đấy là Khi cách làm thanh lọc được mang lại, ta thu thập đều hệ số của nó để tại vị vào sựmàn biểu diễn của H(z) nhưng mà ko nên đem chuyển đổi z. Ngược lại, nếu như biết H(z) thì ta biết đông đảo hệ số thanh lọc.Ví dụ 4.1.4Cho 2 z 2  3z (a) H(z) = z 2  0.5 z  0.8 -20 z 2  5 z (b) H(z) = 10 z 3  5 z 2 -8 z  1Tìm phương thơm trình tín hiệu.Giải 1 2 (a) Viết H(z) nlỗi hàm của z bằng phương pháp nhân tử số cùng mẫu số với z : 1 1 2  3z 2-3z  H(z) = 1 2 1  (0.5 z 1  0.8 z 2 ) 1  0.5 z  0.8 zNhững hệ số là b0 = 2 b 1 = -3 a1 = -0.5 a2 = 0.8Vì vậy phương pháp lọc là y(n) = -0.5y(n-1) – 0.8y(n-2) + 2x(n) - 3x(n-1) 3 3 (b) Nhân tử số và mẫu số cùng với 0.1 z để gia công 10z ngơi nghỉ mẫu bởi 1  2 z 1  5 z 2 H(z) = 1  0.5 z 1  0.8 z 2  0.1z 3Thu thập đông đảo hệ số: b1 = -2 b2 = 5 a1 = -0.5 a2 = 0.8 a3 = _0.1Vì vậy cách làm lọc là 7  y(n) = -0.5y(n-1) + 0.8y(n-2) + 0.1y(n-3) -2x(n-1) + 5x(n-2)4.2 NHỮNG THUỘC TÍNH CỦA BIẾN ĐỔI ZTrong chương thơm này nhiều nằm trong tính (một số trong những có thể xem nhỏng định lý) của biến đổi z phía 2 bên được trìnhbày. - Tuyến tính - Dịch thời gian - Nhân chập thời gian - Liên hệ cùng với thay đổi Fourier rời rộc thời gian (DTFT) - KhácKhông phải toàn bộ phần lớn nằm trong tính bên trên được xem như xét cụ thể . Về sau đôi thay đổi z được phát âm nhỏng x(n)  X(z).4.2.1 Tuyến tínhTuyến tính rất có thể diễn tả nlỗi a1x1(n) + a2x2(n)  a1X1(z) + a2X2(z) (4.14)Với a1 , a 2 là hằng số. Hình thức tương tự nhau vận dụng mang đến nhiều biểu hiện. Vì vậy con đường tính nghĩa kếtnối tuyến đường tính của ngõ vào đưa ra kết nối tuyến tính ngõ ra. Với chuyển đổi z và những thay đổi khác con đường tính là thu ộc tính cơ bản cùng đặc biệt. Nó chophép ta tìm chuyển đổi và chuyển đổi ngược Lúc sinh sống đó là sự kết nối của rất nhiều yếu tố.ví dụ như 4.2.1Tìm đổi khác z của dấu hiệu cosin nhân quả x(n) = (cosn 0 ) u(n)GiảiBiểu diễn x(n) sống dạng phần nhiều nhân tố của mũ phức: 1 jnω0 1 e u(n) + e  jnω0 u(n) x(n) = (cosn 0 ) u(n) = 2 2thì 1 1 Z + Z X(z) = 2 2Biến thay đổi từng nguyên tố 1 e jn0 u(n)    1  e jω0 z 1 1 e  jn0 u(n)     jω0 1 1 e zVì vậy 1 1 1 1 X( z )    jω0 1 jω0 1 2 1 e z 2 1 e z 1  z 1 cos ω 0   1  2z 1 cos ω 0  z 24.2.2 Dịch thời gianĐầu tiên coi biến hóa z của mẫu mã đơn vị chức năng (cũng là xung đối chọi vị) (n) cùng xung trễ của chính nó (n-n0): 8    δ(n)z n = z n X(z) = =1 z 0 n 0    δ(n  n ) z  n0 n = z n =z X(z) = z  n0 0 n 0 nVì trễ của n 0 chủng loại tương xứng với thừa số z 0 của trình diễn biến đổi. Bằng sự màn trình diễn tín hiệu x (n)vào phần đông nhân tố của mẫu đơn vị chức năng cùng áp dụng tính đường tính ta tất cả kết quả tổng quát  n0 x(n – n0)  X(z) z (trễ thời gian) (4.15a)  n0 x(n + n0)  X(z) z (Trước thời gian) (4.15b) 1Vì điều đó, ta sử dụng chú thích z mang đến trễ đơn vị với z cho tới trước đơn vị vào giảng thứ khối hận củahệ thống (phần 1.4.2).lấy một ví dụ 4.2.2:Mẫu đơn vị chức năng là sự trừ nó cùng với chủng loại chậm rì rì một đơn vị chức năng u(n) – u(n-1) = (n)Tìm chuyển đổi z (a) Bậc đơn vị chức năng nhân quả x(n) = u(n) (b) Bậc đơn vị chức năng phi nhân quả x(n) = -u(-n-1)Nhớ rằng u(n) cũng khá được điện thoại tư vấn là tín hiệu mặt nên, cùng -u(-n-1) hoặc u(-n-1) biểu thị phía bên trái, vào khiđó một biểu lộ trường tồn cả phía 2 bên âm và dương được hotline là biểu lộ phía 2 bên (1.62).Giải (a) Ta viết x(n) – x(n-1) = u(n) – u(n-1) = (n)Lấy đổi khác z phía hai bên, thực hiện thuộc tính dịch thời hạn X(z) – z–1 X(z) = 1Hoặc 1 z X(z) = = 1 z 1 1 z u(n) 1 ... 0 2 n -2 3 -1 ° ° 1 -u(-n -1) ° ... ° n -3 -2 -1 2 1 0 -1 Hình. 4.2: lấy một ví dụ 4.2.2 (b) Với biểu thị phi nhân trái ta viết 9 x(n) – x(n-1) = -u(-n-1) + u<-(n-1) – 1> = u(-n) – u(-n-1) = (-n)Nhớ rằng (-n) là (n) (xem 1.4.1), vày vậy đổi khác phía 2 bên đến bởi X(z) – z–1 X(z) = 1Hoặc 1 z X(z) = = 1 z 1 1 zCrúc ý rằng nhì dấu hiệu (a) và (b) có màn trình diễn khác nhau trong miền thời gian cũng tương tự vào miềntần số dẫu vậy bọn chúng tương đương nhau vào biến hóa z. Tuy nhiên nhị thay đổi tất cả vùng hội tụ khác nhau(xem 4.4).Ví dụ 4.2.3Tìm biến hóa z của xung chữ nhật nhân quả bao gồm N mẫu mã p(n) = 1 , 0 n  N-1 0 , không giống p(n) 1 … 1 2 3 -2 n -1 N-1 N 0 N+1 Hình. 4.3:lấy ví dụ như 4.2.3GiảiTa rất có thể vận dụng trực tiếp có mang (4.1) nhằm search biến đổi, Mặc khác ta viết xung chữ nhật dướidạng p(n) = u(n) – u(n – N)Lấy thay đổi, áp dụng ở trong tính trễ: P(z) = Z – Z = Z – z–NZ = (1 – z–N) Z 1  z N  = 1  z 14.2.3 Nhân chập thời gianNhỏng chuyển đổi Fourier, nằm trong tính mạnh khỏe và quan trọng đặc biệt tuyệt nhất (định lý) của thay đổi z đến chu đáo ứngdụng là nhân chập thời gian, được phát biểu như: Nhân chập của nhì hàm thời gian tương xứng vớinhân hay trong miền đổi khác z. x1(n)  x2(n)  X1(z) X2(z) (4.16)Như thông thường, nhân chập là công dụng ngõ ra lúc nhân chập tín hiệu vào x(n) cùng với đáp ứng nhu cầu xung củahệ thống h(n). x(n)  h(n)  X(z) H(z) (4.17)Với H(z) là hàm truyền. Sự quy tụ này được minh họa trong hình 4.4. Tín hiệu ngõ ra vào miền thờigian được mang đến do 10 Tín hiệu vào Tín hiệu ra Hệ thống y(n) = x(n)  h(n) h(n) Miền thời gian: x(n)  (Nhân chập) z Z Z Miền z : X(z) H(z) Y(z) = X(z) H(z) Hình. 4.4: Sơ đồ gia dụng gửi miền thời hạn quý phái miền z và ở trong tính nhân chập thời hạn. y(n) = x(n)  h(n)cùng miền z bởi Y(z) = X(z) H(z)Từ vấn đề này Y ( z) H(z) = (4.18) X ( z)Vì vậy hàm truyền (hoặc hàm hệ thống) của một khối hệ thống là tỉ số của thay đổi z của ngõ ra với biếnđổi z ngõ vào. Điểm này đến ta đưa ra quyết định hàm hệ thống cùng thay đổi ngược, thỏa mãn nhu cầu xung.Chứng minh:Thuộc tính nhân chập được minc họa nhỏng sau: Thứ nhất ta viết   x (k)x (n  k) x(n) = x1(n)  x2(n) = 1 2 k  Lấy biến đổi z      x(z)z n =  k x1(k)x2(n  k) z nX(z) = n       n  Thay thay đổi đơn chiếc trường đoản cú của tổng với sử dụng thuộc tính trễ thời gian:      x (k )   x (n  k ) z  n  X(z) = 1 2   k   n     x (k ) z k = X2(z) = X2(z) X1(z) = X1(z) X2(z) 1 k  lấy ví dụ 4.2.4Áp một chuỗi nguồn vào x(n) = <1 , 2 , -1 , -2 , 1 , 2>đến hệ thống có thỏa mãn nhu cầu xung là h(n) = <0 , 1 , 2>Tìm tín hiệu ngõ ra.GiảiLấy thay đổi z của x(n) và h(n) : X(z) = 1 + 2z–1 - z–2 - 2z–3 + z–4 + 2z–5 H(z) = 0 + z–1 + 2z–2Biến thay đổi ngõ ra là Y(z) = H(z) X(z) 11 = z–1 + 4z–2 + 3z–3 - 4z–4 - 3z–5 + 4z–6 + 4z–7Những khối hệ thống X(z) cấu thành biểu hiện y(n) y(n) = <0 , 1 , 4 , 3 , - 4 , -3 , 4 , 4> Nếu ta nhân chập x(n) cùng với h(n), e.g. bởi phương thức hình học tập (phần 2.2.2), ta tất cả cùng kết quả.ví dụ như 4.2.5Để định nghĩa một khối hệ thống DSP. chưa biết (gồm phần cứng cùng phần mềm), ta áp một biểu thị x(n) vàmang ngõ ra y(n) như sau: x(n)  <1, 2,  1,  2,1, 2> y(n)  <0,1, 4, 3,  4,  3, 4, 4>Tìm thỏa mãn nhu cầu xung. Đây là vấn đề về có mang hệ thốngGiảilấy ví dụ như này y như ví dụ 2.3.5 tuy nhiên ta tính nó trong miền thời hạn.Tại đây áp dụng thay đổi z, ta bao gồm X ( z )  1  2 z 1  z 2  2 z 3  z 4  2 z 5 Y ( z )  z 1  4 z 2  z 3  4 z 4  3z 5  4 z 6  4 z 7Vì vậy hàm truyền là z 1  4 z 2  z 3  4 z 4  3z 5  4 z 6  4 z 7 H ( z)  1  2 z 1  z 2  2 z 3  z 4  2 z 5Mà có thể đơn giản và dễ dàng H ( z )  z 1  2 z 2Hệ thống bình ổn (coi phần 4.4). Đáp ứng xung là đổi khác ngược h(n)  <0,1, 2> 4.2.4 Một số ở trong tính khácTại đây có rất nhiều ở trong tính của đổi khác z, sau đó là một số trực thuộc tính. (a) Đảo thời hạn x(-n)  X(z–1) (4.19)Chứng minh:    x (  n) z  x(k )( z n 1 k ) = X(z–1) Z = = n   k  ví dụ như 1 1 u(n)   u(-n)  1  z 1 1 z (b) Tỉ lệ với mũ rời rốc X(a–1z) anx(n)  (4.20)Chứng minh:    a n x ( n) z  n =  x ( n) ( a 1 z ) n = X(a–1z) Z = n   n  lấy ví dụ biết biến hóa của (cos  0n)u(n) hoàn toàn có thể tiện lợi search biến hóa an(cos  0n) u(n) (bảng 4.1). (c) Nhân thời gian 12Ta có nằm trong tính này với biến đổi Fourier tuy nhiên miêu tả vào miền z là tích phân đối với nhân chập: 1 z 1 C X 1 (ν ) X 2 ( ν )ν dν x1(n) x2(n)  (4.21) 2π jVới C là tích phân vòng xung quanh cội cùng ở bên phía trong vùng quy tụ của X1 với X2 . (d) Vi phân vào miền z dX(z) nx(n)   z (4.22) dzChứng minh:Lấy vi phân cả 2 bên của định nghĩa (4.3), ta bao gồm   dX ( z )   x(n) (-n)z  n1 = -z 1  z n dz n   n   =  z 1 Z Là hiệ tượng khác của trực thuộc tính được nói ở trên. lấy một ví dụ tra cứu biến hóa z của bộc lộ X(n) = na n u(n)Ta hotline x 1 (n) = a n u(n)Biến đổi z của x 1 (n) (bảng 4.1) là 1 trong X 1 (z) = 1  az 1Vì vậy az 1 dX 1 ( z ) X(z) =  z = (1  az 1 ) 2 dz (e) Liên hiệp phức x * (n) ↔ ( X ( z * ))* (4.23) (f) Giá trị đầu x(0) = lyên ổn X(z) (4.24) z Ý nghĩa của thuộc tính này là giả dụ ta biết X(z) cùng ước ao tìm kiếm x(0) thì ta ko bắt buộc rước đổi khác z ngược. (g) Giá trị cuối lyên ổn x(n) = lim(( z  1) X ( z )) (4.25a) n z 1Ý nghĩa của trực thuộc tính này thì y như trên tuy nhiên ngôi trường vừa lòng này ta biết giá trị cuối của x(n).Một vận dụng của trực thuộc tính này là tra cứu đáp ứng nhu cầu tâm trạng ổn định (phần ….) của hệ thống với đầuvào là một trong những bậc đơn vị chức năng. Biến đổi z của bậc đơn vị chức năng (bảng 4.1) được mang lại bởiVì vậy đáp ứng tâm lý ổn định của khối hệ thống H(z) ứng với cùng 1 bậc đơn vị nghỉ ngơi ngõ vào được mang lại vị (4.25b) 13lúc thay z bằng vào H(z) ta sẽ sở hữu được thỏa mãn nhu cầu tần số H(ω). Vì vậy z = 1 ứng cùng với ω = 0, với đápứng H(ω) là đáp ứng tần số tại ko (DC). Trong ví dụ…, pmùi hương trình hệ thống là y(n) = 0.8y(n – 1) + x(n)và đáp ứng bậc tìm kiếm được có dạngVới 5.0 là cực hiếm bình ổn sau cùng. Không đi từ bỏ pmùi hương trình tín hiệu mang lại trên, hàm truyền của nórất có thể được search thấyVì vậy quý giá cuối của đáp ứng bậc từ bỏ (4.25b) làNhư ước muốn Crúc ý giới hạn (4.25b) chỉ tôn trên trường hợp ROC của (z - 1)H(z) bao gồm đường tròn đối kháng vịcircle.4.2.5 Liên hệ cùng với đổi khác Fourier tránh rộc thời gian (DTFT)Tương ứng với dấu hiệu và khối hệ thống rời rộc thời gian, biến hóa z tương tác với biến hóa Fourier thuộc cáchnhư thay đổi Laplace tương tác với đổi khác Fourier với khối hệ thống cùng biểu đạt liên tụ c. Để làm cho điều đó tanắm z = ej  (4.26)vào khái niệm (4.3) của đổi khác z với gồm   x(n)e  jn X(  ) = (tín hiệu) n     h(n)e  jn H(  ) = (hệ thống) n -  Im(z) j  = mặt phẳng z 2 z = ej  1 =0   = -1 1  = - Re(z) 0 Đường tròn   =- -j đơn vị 2 Hình.4.5: Dọc theo mặt đường tròn đơn vị chức năng, thay đổi z là thay đổi FourierVới đổi khác Fourier ta biết (3.39) cùng (3.60)). Nhớ rằng cả X(  ) cùng H(  ) là tuần hoàn với chu kỳ2 .

Xem thêm: (Mã Trường: Nhh Là Trường Gì, Điểm Chuẩn Học Viện Ngân Hàng Nhh 2019



Xem thêm: 6 Sự Thật Khủng Khiếp Về Các Loại Tiết Canh 'Made In Nhà Làm”

Ta tóm lại H(  ) = H  z  jω  z = e (4.27)Sự tương tác giữa X(  ) và X(z) là tương đương nhau Biên độ cùng trộn của z khớp ứng cùng với  là 14 z = ej   = 1 z = ej   = Vì vậy biến hóa Fourier là biến đổi z khi z nằm trên tuyến đường tròn đơn vị (hình 4.5). Khi z dịch chuyển dọctheo đường tròn này tần số  đổi khác theo. Nlỗi vậyX(  ) và H(  ) tất cả chu kỳ 2, ta xem chúng chỉtuần hòan vào chu kỳ 2  , hay trong khoảng <-  ,  > or <0 , 2  >.4.3 GIẢNG ĐỒ CỰC KHÔNGBiến thay đổi z của biểu thị cùng hệ thống thực LTI (LSI) là hàm tỉ sổ nhì đa thức c ủa z, ta viết N ( z) X(z) or H(z) = D( z )Với N(z) là nhiều thức tử với D(z) nhiều thức chủng loại. Sau phía trên ta viết X(z) hoặc H(z) hoán thay đổi nhau, ngoại trừLúc tyêu thích chiếu cho biểu thị với hệ thống đặc trưng .4.3.1 Giản thiết bị cực-không và điểm lưu ý tín hiệuLấy z1, z2, z3 … là nghiệm của N(z), cùng p1, p2, p3 … là nghiệm của D(z), tiếp nối chuyển đổi z rất có thể đặttrong hiệ tượng L z  z k   N(z) G ( z  z1 )( z  z 2 )( z  z 3 )... z-z L   G k 1 H(z) = = (4.28) D(z) ( z  p1 )( z  p 2 )( z  p3 )... z-pM  M  z-p  k k 1Với G là thừa số độ lợi; z1, z2, z3 … là đa số zero cơ mà làm cho H(z) tiến cho tới zero; và p1, p2, p3 … là cựcmà lại khiến cho H(z) tiến tời vô cực, L là bậc của tử số, M lầ bậc của mẫu mã số. H(z) là 1 trong đa thức thíchđúng theo Khi L  M (bậc j tử số nhỏ dại rộng bậc của mẫu mã số). của Im ( z ) -1 z-plane Unit circle 0 1 1Double pole R e ( z) -j (b) r(n) (a) u(n) a 1 1 Hình .4.6: Giản trang bị cực-không của một trong những hệ thống đơn(d) giản (n) (c) –an u(-n-1) Trên là hầu hết cực-không hữu hạn. Bên canh đó, khi đổi thay z vào chủng loại số tiến tới vô hạn,X(z) tiến tới không, đấy là một ko vô hạn. Giống như vậy, Khi z vào tử số tiến cho tới vô hạn, X(z)tiến cho tới vô hạn, đây là một cực vô hạn. Khi bậc M của tử số nhỏ tuổi hơn bậc N củ a mẫu số, tại đây sẽ làmột ko vô hạn của bậc M-N, với Lúc M > N ở đây đã là 1 cực vô hạn của bậc M – N. Với hầukhông còn ngôi trường hợp ta blàm việc qua cực cùng không vô hạn. Phân phối của rất cùng ko của X(z) vào phương diện phẳng z là giản đồ vật cực-không. Fig.4.6 showsthe pole – zero plot for sereval simple signals. Notice the unit sample (n) is very special in that it isthe only function which doesn’t have sầu any pole & zero . 15 Giản đồ vật cực-ko thì khôn cùng bổ ích trong đối chiếu cùng kiến thiết hệ thống lọc số. Hình 4.7 chỉmối contact giản trang bị cực-ko và công năng của khối hệ thống (hoặc tín hiệu). Thật sự chỉ vị trí rất ảnhhưởng cho điểm sáng của tín hiệu. ... ... n n 1 0 1 0 Convergent Convergent (stable) (stable) x(n) x(n) ... ... n n 1 0 1 0 Oscillatory oscillatory (Marginally Stable) (Marginally Stable) x(n) x(n) ... ... n n 1 0 1 0 Divergent Divergent (Unstable) (Unstable) Hình. 4.7: Liên hệ giữa địa điểm rất và tính năng của b(n) = anu(n) với đầy đủ quý giá khác nhau của a. khi biểu thị x(n) hoặc thỏa mãn nhu cầu xung h(n) có mức giá trị thực, đông đảo rất và ko là thựchoặc xuất hiện thêm vào đôi liên hợp phức.Ví dụ 4.3.1Tìm giản vật cực-không của hệ thống tương ứng cùng với hàm truyền. z 2  z 3 H(z) = 1  3.6z 1  4.59z 2  2.38z 3  0.39z 4Giải 4Nhân cả tử và chủng loại vì chưng z , ta gồm z2  z N ( z)  H(z) = z  3.6 z  4.59 z  2.38 z  0.39 D( z ) 4 3 2Thừa số tử với mẫu: N(z) = z(z+1) D( z )  ( z  1) 2 ( z 2  1.6 z  0.39)Vì vậy mọi không của hệ thống là  z(z+1) = 0 z = 0, z = -1với phần đa cực là (z–1)2(z2 – 1.6z + 0.39) = 0  z = 1(kép), z = 0.8 + j0.5 , z = 0.8 – j0.5Hình. 4.8 là giản đồ dùng cực –không của khối hệ thống. 16 Im(z) Unit circle 0.5 1 (double) -1 0 0,8 Re(z) –0.5 Hình. 4.8: lấy ví dụ 4.3.3(giản thứ cực-không) Chụ ý rằng với mục đích tìm rất với ko ta phát triển thành hàm H(z) của z 1 thành hàm của z. 4.3.2 Vẽ biên độ của X(z) , H(z)Đây là những hàm vào Matlab mà có thể chấp nhận được ta vẽ biên độ |X(z)| or | H(z)| trong không gian bố chiềukhớp ứng cùng với trục thực và ảo z. Hình 4.9 là một trong |H(z)| Im(z) Unit circle Re(z) Hình 4.9: Vẽ biên độ của H ( z )  ( z  1) /( z  1)lấy ví dụ như về vẽ đa số chiều z của hàm truyền tất cả một rất với một không.4.3.3 Cực với không tại gốcCực và không tại gốc của một khối hệ thống không tác động mang đến đáp ứng bên độ và pha mà lại ảnhhưởng đến thời hạn đáp ứng nhu cầu của chính nó, nghĩa là, đáp ứng mang đến mau chóng tốt muộn so với thời gian Khi áp tínhiệu vào. Đặc biệt, một ko vẫn lờ lững một đơn vị thời hạn, ngược lại một cực tại nơi bắt đầu đã tăng đápứng một đơn vị thời hạn. Ta thoải mái thêm vào đó cực cùng không tới khối hệ thống, bằng cách cùng hầu hết thừasố tương thích vào tử với mẫu đề đáp ứng hệ thống ngay mau chóng hoặc khối hệ thống đổi mới nhân quả. lấy ví dụ, xét hàm truyền 1 H(z) = z(z  1 ) (z  2 )Có ba cực trên z = 0,1 và 2 . Phương trình tín hiệu rất có thể được tra cứu như thể 17 y(n) = 3y(n-1) – 2y(n-2) + x(n-3)mà chỉ rằng ngõ ra biểu lộ nhờ vào ngõ vào bộc lộ trên 3 thời khắc trước đố. Để khối hệ thống đáp ứngngay mau chóng, ta cộng thêm 3 đơn vị chức năng thời gian bởi 3 không trên gốc. Hàm truyền trở nên. z3 H(z) = z(z  1 ) ( 2 z  1 )Tương ứng cùng với phương trình dấu hiệu y(n) = 3y(n-1) – 2y(n-2) + x(n)Vì vậy, với cùng một khối hệ thống thỏa mãn nhu cầu ngay lập tức lập tức cùng với ngõ vào, hàm truyền buộc phải gồm số cực và khôngđều bằng nhau, hoặc bậc của tử cùng chủng loại vào nhiều thức phải bằng nhau.4.3.4 Hủy cực-khôngTrong nhiều thức của thay đổi z ví như một không diệt một rất, đôi cực-không này là hủy lẫn nhau. Vì vậygiảm bậc của đa thức, và sự dễ dàng theo sau phương trình biểu hiện. Kỹ thuật bỏ cực –không thỉnh phảng phất được thực hiện trong cách xử lý dấu hiệu số và xây cất hệthống tinh chỉnh. Ngõ ra là 1 sự can hệ thân ngõ vào cùng khối hệ thống, vị vậy ta có thể lựa chọn hệ thốngđể hủy rất cùng không của dấu hiệu vào. Hủy rất -ko có thể mở ra với hệ thống. Vấn đề là khihủy rất ko còn nếu như không hoàn toàn sẽ sở hữu được hiệu ứng chiều nhiều năm tự hữu hạn, cùng hầu hết nguyên nhân khác, hệthống được thiết kế với trsinh hoạt cần không ổn định định.lấy ví dụ 4.3.2Cho hệ thống y(n) = 2.5y(n – 1) – y(n – 2) + x(n) – 5x(n – 1) + 6x(n – 2)vận dụng điều kiện diệt cực –ko. Tìm thỏa mãn nhu cầu xung của hệ thống được rút ít gọn gàng.GiảiSử dụng đặc tính trì hoãn của chuyển đổi z vào phương thơm trình hệ thống vào ra trênSắp xếp lại:Để bao gồm hàm truyền:Vì vậy cực trên p = 2 cùng không trên z = 2 có thể hủy bỏ cho nhau, hiệu quả xuất hiện một lọc bậc thấprộng gồm phương thơm trình dạng Để tra cứu thỏa mãn nhu cầu xung ta knhì triển H(z)Biến thay đổi z ngược ta bao gồm thỏa mãn nhu cầu xung:Ta có thể tra cứu đáp ứng xung trường đoản cú phương thơm trình tín hiệu tuy nhiên ta sử dụng giải pháp không giống diễn tả thỏa mãn nhu cầu xung gần quả thật hình thức sinh sống bên trên.lấy ví dụ 3.4.3Tìm đáp ứng của hệ thốngVới ngõ vào 18GiảiSử dụng biến hóa z nlỗi ví dụ bên trên ta bao gồm hàm thay đổi đổiCrúc ý khối hệ thống thì ổn định. Biến đổi z của dấu hiệu vào làCrúc ý X(z) có một ko tại trùng khớp với rất của H(z), vị vậy mở ra sự hủycực-ko trong biểu thức ngõ ra:Biến đổi z hòn đảo choVới hàm truyền khác, sự diệt rất không sẽ không còn xảy ra cùng biểu hiện ngõ ra sẽ có được thuộc thành phầncùng.4.3.5 Tìm đáp ứng nhu cầu tần số bằng phƣơng pháp hình họcTa hiểu được biến hóa z khi z giới hạn trong khoảng tròn đơn vị là DTFT. Vì vậy thỏa mãn nhu cầu tần số, bao gồm thểtính dao động bởi phương thức hình học. Xem ví dụ đơn giản và dễ dàng, bao gồm hàm truyền. z  0.8 H(z) = z  0.8Có một không tại z = 0.8 và một rất trên p = -0.8 . Với thỏa mãn nhu cầu tần số ta vắt z = ej  : e jω  0.8 H(  ) = e jω  0.8Tử số trình diễn vector Z tự z bởi không tới điểm z = ej  bên trên vòng tròn đơn vị, với mẫu số bằngvector P.. tự rất Phường mang đến thuộc điểm z (hình 4.10). Ta ghi chú  mang đến nơi bắt đầu pha. Vì vậy Z Z Z Z H (ω) =   ( Z  P) (4.29) Phường P P.. Phường. H(  ) Im(z) . z = ej  10 (  ) 8 P. 1 Z 6 Z ω Phường p 0 z Re(z) 4 -(0.8) (0.8) 2 1 1/9   - -/2 0 /2 (b) 19 (a) Hình. 4.10: Đáp ứng tần số bởi cách thức hình họcCrúc ý rằng thỏa mãn nhu cầu trộn là gốc chú ý từ bỏ điểm z bên trên vòng tròn đơn vị chức năng mang đến rất p cùng z bởi 0.Đáp ứng biên độ cùng pha tương xứng. Z H(  ) = P.. (  ) =  (Z – P)Xem một vài trường hợp quan trọng đặc biệt với sự tính tân oán là đơn giản dễ dàng 1  0,8 1  Tại  = 0: H(0) = H(0) = 0 – 0 = 0 rad = , 1  0,8 9 1  0,8  Tại  = : H() = H() =  –  = 0 rad =9 , 1  0,8 π π π π  Tại  = : H( ) = 1  H( )  rad , 2 2 2 2Ta dịch rời điểm z dọc theo vòng tròn đơn vị, tại vị trí được chọn, ta tính với đo chiều dài tương ứngvới nơi bắt đầu pha. Kết quả thỏa mãn nhu cầu biên độ chỉ trong hình 4.10b. Để bao gồm đáp ứng nhu cầu chính xác rộng, ta buộc phải không nhiều nhấtmột quý hiếm không giống trên   3 4 . Lúc hàm truyền có tương đối nhiều rất cùng không, đáp ứng nhu cầu là Z1 Z 2 Z 3  H(  ) = (4.30a) P1 P2 P3  (  ) =  <(Z 1  Z 2  Z 3  )  (Phường  P2  P3  )> (4.30b) 1 Dù phương pháp hình học chỉ xấp xỉ, nó có thể chấp nhận được ta ước chừng hối hả hiệu quả thiết kếtcùng tiếp đến triển khai thêm/quăng quật cực cùng ko để có được khối hệ thống như ý.4.4 VÙNG HỘI TỤ (ROC), SỰ ỔN ĐỊNHChuỗi định nghĩa đổi khác z (4.3) có thể phân kỳ cùng có mang đổi thay vô nghĩa. Vùng quy tụ (ROC)là vùng vị trí biến hóa z X(z) hoặc H(z) quy tụ. ROC mang lại ta quyết định nằm trong tính thay đổi z ngƣợc . Trước tiên xét một số ví dụ Mẫu đơn vị (n) gồm thay đổi z là một, bởi vậy ROC là cục bộ mặt phẳng z  Tín hiệu (n+k) với k>0 gồm đổi khác z là zk , do vậy ROC là toàn bộ phương diện phẳng z, nước ngoài từ tại z =  . Tín hiệu x(n) = <1 , 2 , 3 , 4 , 5> bao gồm thay đổi z  X(z) = 1 + 2z-1 + 3z-2 + 4z-3 + 5z-5 ROC là toàn cục phương diện phẳng z kế bên tại điểm z=0 (gốc). Tín hiệu h(n) = <1 , 2 , 3 , 4 , 5> gồm biến đổi z  H(z) = z2 + 2z + 3 + 4z-1 + 5z-2 ROC là toàn thể phương diện phẳng z xung quanh tại z = 0 cùng z =  204.4.1 ROC của khối hệ thống nhân quả và ko nhân quảBây giờ đồng hồ ta coi ROC của hai biểu thị cơ bản: nhân trái và ko nhân quả.Tín hiệu nhân quảXét ví dụ, x(n) = 0.8nu(n) = 1 , 0.8 , 0.82 , 0.83 , …    (0.8z  1 n 0.8n u (n) z  n = ) X(z) = n 0 n  1 0.8 z 1  1 = , 1  0.8 z 1Trên, sử dụng công thức chuỗi hình học tập (2.8). Điều khiếu nại 0.8z-1 0.8 . Vì vậyROC là tất cả vùng ngoài vòng tròn bán kính 0.8. (Hình 4.11a). Chú ý rằng thay đổi bao gồm không tại gốcvà rất tại z=0.8. (b) Tín hiệu phi nhân trái.Xét ví dụ x(n) = -0.8nu(-n-1) 1    0.8 z n . =   <0.8 1 z >n =   <0.8 1 z >n  1 X(z) =  n n 0 n   n 1Lấy tổng, ta có 1 1 0.8 1 z  1 X(z) =  1  , 1 1  0.8 z 1 1  0.8 zĐiều khiếu nại 0.8-1z a Nhân quả anu(n) , (4.31) 1  az 1 (Bên phải) 1  ROC:  z

Chuyên mục: Giáo Dục